Geometria Plana

Agora que vocês já sabem um pouco sobre a história da Geometria(Você não viu? veja:Um-Pouco-Sobre-Geometria.). Vamos começar!!!

Geometria Plana!

O que é?

Geometria é uma palavra que resulta dos termos gregos "geo" (terra) e "métron" (medir).

               Geometria plana é a ciência que estuda figuras que existem apenas no plano, tais como quadrados, círculos e triângulos.

A Geometria Plana  baseia-se nos chamados conceitos geométricos primitivos. Define-se como conceito primitivo toda aquele que não admite definição, isto é, o conceito que é aceito por ser óbvio ou conveniente para uma determinada teoria.

Os conceitos geométricos primitivos são os seguintes:

1. Ponto: é o conceito geométrico primitivo fundamental. Euclides o definiu como "aquilo que não tem parte". Ou seja, para Euclides é o conceito de "parte", e não de "ponto", que é primitivo.

   Imagine o ponto o menor que você puder. Diz-se que o ponto não tem dimensão (é adimensional), ou seja, ele é tão ínfimo quanto quisermos, e não faz sentido mencionar qualquer coisa sobre tamanho ou dimensão do ponto. A única propriedade do ponto é a localização.

   Representa-se o ponto por uma letra maiúscula qualquer do alfabeto latino.

2. Linha: Imagine um pedaço de barbante sobre uma mesa, formando curvas ou nós sobre si mesmo: este é um exemplo de linha.
3. Reta: É uma linha infinita e que tem uma única direção. Uma reta é o caminho mais curto entre dois pontos quaisquer.
4. Plano: Você pode imaginá-lo como uma folha de papel infinita. Um plano é uma superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções.

Obs.:

Reta é uma noção primitiva.

Semi-reta

Enquanto a reta é infinita para os dois lados, a semi reta é infinita numa direção e finita na outra.

Segmento de reta

Enquanto a reta é infinita para os dois lados o segmento de reta termina em ambos os lados, ou seja, a menor distância entre dois pontos em um plano.

Formas básicas

Existem três formas básicas: o quadrado, o círculo e o triângulo equilátero. Todas as formas básicas são figuras planas e simples, fundamentais, que podem ser descritas e construídas verbalmente ou visualmente.

Formas geométricas planas

POLÍGONO 

Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono. 

Polígono	No. de lados	Polígono	No. de lados
Triângulo	3	Quadrilátero	4
Pentágono	5	Hexágono	6
Heptágono	7	Octógono	8
Eneágono	9	Decágono	10
Undecágono	11	Dodecágono	12

TRIÂNGULOS 

Os triângulos são polígonos de três lados. Iremos classificar os triângulos de duas maneiras: quanto aos lados e quanto aos ângulos. 

                                                                       

                                                                             Quanto aos lados: 

Equilátero - todos os lados iguais 

Isósceles - dois lados iguais 

Escaleno - todos os lados diferentes 

Quanto aos ângulos: 

Acutângulo - Um ângulo agudo 

Obtusângulo - Um ângulo obtuso 

Retângulo - Um ângulo reto 

Algumas propriedades: 

- Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são iguais. 

- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais. 

- Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais. 

- Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo 

Áreas

A área de uma superfície plana é um número que expressa o tamanho daquela superfície. Quando maior, maior a área. Existe uma definição formal. É a seguinte:

A área de uma superfície é um número real positivo de forma que:

1. A superfícies equivalentes estão relacionadas áreas iguais
2. A área da soma de superfícies é a soma das áreas das superfícies
3. Se uma superfície está contida em outra, sua área é menor ou igual à área da outra.

Áreas das Figuras Planas 

Área ou superfície de uma figura plana tem a ver com o conceito (primitivo) de sua extensão(bidimensional).

Usamos a área do quadrado de lado unitário como referência de unidade de área, chamando de metro quadrado (m²) sua unidade de medida principal.

                       

                                 Cálculo da Área do Triângulo

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados.

Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base.

A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:

A letra S representa a área ou superfície do triângulo.

No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Onde l representa a medida dos lados do triângulo.

Exemplos

A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo?

Do enunciado temos:

Utilizando a fórmula:

A área deste triângulo é 12,25 cm².

Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?

Segundo o enunciado temos:

Substituindo na fórmula:

A área deste triângulo equilátero é de aproximadamente 10,8 mm².

               Cálculo da Área do Paralelogramo

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominado paralelogramo.

Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na                                           fórmula abaixo:

                                        

Exemplo

A medida da base de um paralelogramo é de 5,2 dm, sendo que a medida da altura é de 1,5 dm. Qual é a área deste polígono?

Segundo o enunciado temos:

Substituindo na fórmula:

A área deste polígono é 7,8 dm².

                    Cálculo da Área do Losango

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais.

Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango.

Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.

Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro triângulos iguais.

Consideremos a base b como a metade da diagonal d₁ e a altura h como a metade da diagonal d₂, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificações chegaremos à fórmula:

Exemplo

As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?

Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:

Utilizando na fórmula temos:

A medida da superfície deste losango é de 75 cm²

                      Cálculo da Área do Quadrado

  Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado.

O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais.

Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo:

Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las por l, ficando a fórmula então como sendo:

Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango:

Como ambas as diagonais são idênticas, podemos substituí-las por d, simplificando a fórmula para:

Exemplo

A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfície desta tampa?

Do enunciado temos que a variável l é igual a 17:

Substituindo na fórmula temos:

Portanto a superfície da tampa desta caixa é de 289 cm².

Cálculo da Área do Retângulo

Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.

Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado.

Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma.

Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:

Exemplo

Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?

Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:

Utilizando a fórmula:

A área deste terreno é de 125 m².

Cálculo da Área do Círculo

A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:

Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.

O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula:

O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:

Onde r representa o raio do círculo.

Exemplo

A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?

Como informado no enunciado, o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que corresponde à metade deste valor:

Substituindo-o na fórmula:

A área da lente da lupa é de 78,54 cm².

             Cálculo da Área de Setores Circulares

O cálculo da área de um setor circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e depois se montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para 360°, assim como a área do setor estará para o número de graus do setor.

Sendo S a área total do círculo, S_α a área do setor circular e α o seu número de graus, temos:

Em radianos temos:

A partir destas sentenças podemos chegar a esta fórmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e α é o ângulo também referente ao setor.

Exemplos

Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm?

Aplicando a fórmula em graus temos:

A área do setor circular é de 37,6992 cm².

                Cálculo da Área de Coroas Circulares

O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a seguinte fórmula:

Onde R representa o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito.

Exemplo

Qual é a área de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm?

Se a largura é de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15, substituindo na fórmula temos:

A área da coroa circular é de 549,78 cm².

Bibliografia:

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