Potenciação

Potência 


                  “... A utilização da palavra ‘potência’, no contexto da matemática, é atribuída a Hipócrates de Quio (470 a.C.), autor que escreveu o primeiro livro de geometria elementar do qual, provavelmente, os Elementos de Euclides recolheram uma importante inspiração. Hipócrates designou o quadrado de um segmento pela palavra dynamis, que significa precisamente potência. Existem motivos para se crer que a generalização do uso da palavra potência resulte do fato dos Pitagóricos terem enunciado o resultado da proposição I.47 dos Elementos de Euclides sob a forma: “a potência total dos lados de um triângulo retângulo é a mesma que a da hipotenusa”.
Portanto, o significado original de “potência” era potência de expoente dois.

 “...Uma das primeiras referências à operação de potenciação encontra-se num papiro egípcio que remonta ao final do Império Médio (cerca de 2100 a 1580 a.C.). Ao ser ali apresentado o cálculo do volume de uma pirâmide quadrangular, é usado um par de pernas como símbolo para o quadrado de um número (Ball, 1960). A noção de potência era, também, conhecida dos babilônios. Recordando o seu sistema de numeração sexagesimal, observe-se o conteúdo de uma antiga tabuinha babilônica de argila conhecida como a tabuinha de Larsa e a respectiva tradução (Fauvel, 1987, p. 22):

AS OPERAÇÕES BÁSICAS.

Sabemos que as operações básicas da aritmética são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Através do processo de multiplicação podemos encontrar outras operações: Uma delas é a potenciação. Potenciação é sinônimo de multiplicação repetida. Preste atenção nos exemplos abaixo:

Consideremos os seguintes exemplos com produtos de fatores iguais:

Termos da potenciação:

Base=3

Expoente = 5

Potência = 243 [Resultado da operação

Exemplos:

1º exemplo: 

Termos da potenciação:

Base=2

Expoente = 4

Potência = 16 [Resultado da operação]

Lê-se: Dois elevado à quarta potência.

2º exemplo: 

5³ = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)

Termos da potenciação:

Base=5

Expoente = 3

Potência = 125 [Resultado da operação]

Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.

3º exemplo: 

3⁵ = 3.3.3.3.3 (5 fatores iguais)

Este produto de 5 fatores iguais ao número 3 pode ser expresso da seguinte forma 3⁵, onde 3 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido, e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade desses fatores, e lido da seguinte maneira:

3 elevado à 5^a potência, ou a 5^a potência de 3. Então: 3.3.3.3.3=3⁵

EXPLICANDO ALGUMAS PROPRIEDADES.

A potenciação além de economizar nosso trabalho para calcular grandes números, também economiza na escrita.

Vamos ver os seguintes exemplos para entender melhor:

1^º ) Produto de potências de mesma base.

Note que é necessário escrever muitas vezes o número 1 para determinar a potência de 1¹⁵ .

Esta foi fácil, pois sabemos das definições que 1ⁿ=1

(3.3.3).(3.3).(3.3)=3³. 3². 3² =3³⁺²⁺²=3⁷=2187

(3.3.3)=3³

(3.3)= 3²

(3.3)= 3²

Note que 3⁷= (3.3.3.3.3.3.3) =2187

Três elevado à sétima potência.

Para escrever o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes

2^º ) Potência de potência.

(2²)³ = 2² . 2² . 2² = 2²⁺²⁺²= 2⁶ = 64

(2²)⁴ = 2² . 2² . 2² . 2² = 2^2+2+2+2= 2⁸ = 256

Para escrever a potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

3^º ) Quociente de potências de mesma base.

         Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 ÷ 126 ficaria da seguinte forma:

12⁸ ÷12⁶ = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes. 
12⁸ ÷ 12⁶ = 12^{8 – 6} = 12² = 144

(-5)⁶ ÷ (-5)² = (-5)^{6 – 2} = (-5)⁴ = 625 

Para escrever o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão

EXEMPLOS PRÁTICOS:

a)             3⁰ = 1                             b)             5⁰ = 1

c)             2⁰ = 1                              d)            56⁰ = 1

e)            5¹ = 5                                f)             3¹ = 3

g)            5² = 5.5 = 25                  h)            5³ = 5.5.5 = 125

i)             5⁴ = 5.5.5.5 = 625           j)             5⁵ = 5.5.5.5.5= 3125

k)            3² = 9                               l)             19⁰ = 1

m)          19¹ = 19                          n)           19² = 361

o)           0¹ = 0                              p)           0² = 0.0 = 0

         q)           0³ = 0.0.0= 0                   r)            0⁴ = 0.0.0.0 = 0

         s)           0⁵ = 0.0.0.0.0 = 0            t)            151¹ = 151

         u)           1⁷ = 1.1.1.1.1.1.1=1

BIBLIOGRAFIA:

http://matematica-na-veia.blogspot.pt

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.

BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5^a série.

GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.